[1337pm]

Jag behöver lite hjälp angående aritmetikens fundamentalsats. Jag klipper in vad jag skrivit:

Anta att vi har primfaktoriserat talet a på två sätt:
• a = p1 p2 p3...pm
• a = q1 q2 q3...qn

Vi ska visa att dessa primfaktoriseringar består av samma tal, fast möjligen i olika ordning. För att bli mer konkret skriver vi siffror istället för bokstäver. Anta därför att a = 28 och att p = 7 och att q = 2, vilket ger att:

• 28 = 2 * 2 * 7
• 28 = 2 * 2 * 7

I den första primfaktoriseringen ser vi att p1 (2) delar a (28). Eftersom a (28) är en produkt av många q:n (2 & 7) och p1 (2) är ett primtal, så måste p1 (2) enligt satsen dela något av q:na (2 och 7) t.ex. q1 (2). Eftersom q1 (2) är ett primtal som bara kan delas med sig självt och ett (1), och eftersom p1 (2) inte är 1 så måste p1 (2) vara lika med q1 (2) - vilket det är i det här exemplet.

MEN vad händer om vi inte bortser från ordningen av faktorerna? För då blir texten ovan lite annorlunda:

Anta att vi skriver så här istället.

• 28 = 2 * 2 * 7
• 28 = 2 * 7 * 2

Och sen skriver texten: " I den första primfaktoriseringen ser vi att p1 (2) delar a (28). Eftersom a (28) är en produkt av många q:n (2 & 7) och p1 (2) är ett primtal, så måste p1 (2) enligt satsen dela något av q:na (2 och 7) t.ex. q2 (7). Eftersom q2 (7) är ett primtal som bara kan delas med sig självt och ett (1), och eftersom p1 (2) inte är 1 så måste p1 (2) vara lika med q1 (7)."

Det stämmer ju inte....

Gör jag något fel här? Aritmetikens fundamentalsats säger att varje heltal större än 1 kan skrivas som en produkt av primtal på ett och endast ett sätt. Innefattar den satsen även att man måste bortse från ordningen på faktorerna eller?

[Per]

Jag har inte pluggat någon matte sen gymnasiet men det torde vara rätt självklart att man måste bortse från ordningen, den är ju oväsentlig (i dessa fall).

Vidare gäller väl det här endast icke-primtal? T.ex. 7 kan ju inte skrivas som en produkt av *andra* primtal.

[jimmie]

Originally posted by 1337pm@Dec 14 2005, 13:16
Innefattar den satsen även att man måste bortse från ordningen på faktorerna eller?

Ja

[koala]

Multiplikation mellan skalärer (reella tal) är en kommutativ operation, vilket betyder att ab=ba.

[vco-systems]

Originally posted by 1337pm@Dec 14 2005, 12:16
Anta att vi har primfaktoriserat talet a på två sätt:
• a = p1 p2 p3...pm
• a = q1 q2 q3...qn

Vi ska visa att dessa primfaktoriseringar består av samma tal, fast möjligen i olika ordning.

Anta att m<=n

Vi vet att p1 | a och a=q1 q2 q3 ... qn -> p1 | q1 q2 q3 ... qn vilket innebär att p1 | qk för något k<=n.
Men då qk är primtal innebär det att p1=qk
Plocka bort p1 och qk från faktoriseringarna och upprepa tills det är slut på p:n

[1337pm]

Ursprungligen postat av vco-systems

Anta att m<=n

Vi vet att p1 | a och a=q1 q2 q3 ... qn -> p1 | q1 q2 q3 ... qn vilket innebär att p1 | qk för något k<=n.
Men då qk är primtal innebär det att p1=qk
Plocka bort p1 och qk från faktoriseringarna och upprepa tills det är slut på p:n

Det där säger mig ingenting. Jag la in siffror för att jag har svårt med bokstavsmatematik. Och jag har redan fått svar på min fråga.