Uttrycket /^[åäöÅÄÖ]*$/ matchar alla strängar som ENDAST består av åäö, samt tomma strängar eftersom du har en asterisk (*) istället för plus (+). Vill du ha ett uttryck som hittar ord om innehåller minst ett å, ä eller ö använder du helt enkelt "/[åäöÅÄÖ]/" eller "/[åäö]/i".
Om jag förstod det var du ute efter att matcha alla ord i en sträng som innehåller åäö, men på ditt sätt att beskriva det antar jag att du först splittar strängen till enskilda ord och applicerar uttrycket på vart och ett av orden. Annars finnsmöjligheten att göra ett uttryck som hanterar hela texter direkt:
/((\b(\w*[åäö]+)+\b)\s+)*(\b\w+\b)*)+/i
Eftersom det är KLIENTSIDANS tekniker vi diskuterar på detta forum tänker jag inte gå in på hur du använder detta i PHP, men jag kan hinta om att preg_match_all skulle kunna vara en passande funktion. Detta får du fråga om på rätt forum...
Anledningen till att jag svarade här är att RegExp ju också finns i Javascript...
EDIT: missade visst en parantes i regexp:et...