[BjörnJ]

Något i den här stilen:
INSERT INTO nomineringar (namn,antal) VALUES ("$namn",1) ON DUPLICATE KEY UPDATE antal=antal+1;

namn-kolumnen ska vara unique eller primary.
Tänk på att $namn måste vara säkrad mot SQL injection.
Kanske formatera $namn först så gemener/versaler blir rätt.

Edit:
Man kanske även borde ha någon kontroll så att inte samma person kan nominera flera gånger. Eller att samma person får nominera flera olika personer, men högst en nominering per nominerad person. I det senare fallet får man nog titta på någon annan lösning än ON DUPLICATE KEY. I det första fallet kan man sätta en flagga i någon annan tabell när personen har använt sin nominering.